答：在数学历史上，有三次大的危机深刻影响着数学的发展，三次数学危机分别是：无理数的发现、微积分的完备性、罗素悖论。

第一次数学危机

第一次数学危机发生在公元400年前，在古希腊时期，毕达哥拉斯学派对“数”进行了定义，认为任何数字都可以写成两个整数之商，也就是认为所有数字都是有理数。

非常感谢小伙伴“钟铭聊科学”的厚爱、信任和。

对于数学仅限于学校里学的那点东西，薄如蝉翼，谈不上什么深刻理解，但也听说过数学史上有三次危机。限于老郭水平不高，能力有限无法深入，蜻蜓点水的说一下。

第一次数学危机-无理数的发现

勾股定理是咱们小伙伴们都熟悉的，a^2+b^2=c^2。这个公式出来之后就用到了已知两条边长求解直角三角形第三条边的边长问题上。很明显，开平方之后会出现根号2、根号3这种情况，这种不能完全开平方的数是无限不循环的小数，我们现在叫做无理数。

我们现在理解这些数当然是没问题的，不过在当时，这种数的出现，打破了毕达哥拉斯学派认为的世界的和谐性质。他们认为宇宙万物都可以归结为整数或者是整数之比。这就导致了一种认识上的“危机”，这个危机被称为第一次数学危机。

。我是数学经纬网，来这个问题。大家都熟知数学发展史上有三次危机，当年大一的时候，学校开了数学史的选修课，所以想和大家分享一下我的思考。

三次数学危机实际上对东方(主要指中国和印度)无甚影响，因此，三次数学危机只能算三次西方数学危机。三次数学危机对数学及其哲学都造成了巨大的影响，虽然给当时某个时期造成了某种困境，然而一直未妨碍数学的发展与应用。倒是在困境过去后，给数学带来了新的生机。

一、第一次数学危机

公元前5世纪古希腊的数学非常发达，而尤以毕达哥拉斯创立的学派最为有名。毕达哥拉斯曾游历埃及、波斯学习几何、语言和宗教知识，学识渊博，后在意大利一个名叫克罗顿的沿海城市定居，招收了300门徒，称为毕达哥拉斯学派。

毕达哥拉斯学派对几何学贡献很大，最着名的是所谓毕达哥拉斯定理(中国称勾股定理)的发现：即任何直角三角形的两直角边a、b和斜边c,都有 的关系式。据说当时曾屠牛百头欢宴庆贺。

数学危机？今天的看法已经不同了。自从30年代不完全定理被哥德尔完成，尤其60年代，连续统假设对ZFC集论之独立性被证明，此后，人们对数学"危机”的看法已经大大淡化了。可以认定，数学本身并无唯一的"基础"，它可以多向地构建与发展。可以发展有限数学，也可以发展可构造数学，也可以发展古典数学，甚至充许高级无限的超古典数学，...就拿无理数或实数來说，人类的实践经验告诉我们，人类所有实际使用的数字都是有理数，或有固定算法的"无理"数，但只取有限位。今天由于计算技术的高度、快速发展，人们又开始倾向发展有限，至少可构造性数学。在连续统中，我们该确定实数究竟指什么，什么"计算"是有效的，我们该排除怎样的"随机性"等等，成为新的主题。另一方面，我们还在发展超古典数学，扩大古典数学，扩大关系型数学，扩大数学的建构性发屐。

第三次数学危机实质很简单，理发师讲我只给那些自己不给自己理发的人理发！因为理发师给除他外其它人理发只有他一个人，所以他给自已理发与给其它人理发之人身份叠合重合，条件本身含有矛盾，而对于除了理发师以外的人，他们要么自理，要么别人帮理，条件符合他们，非此即彼的关糸，所以不存在自相矛盾的地方，而对于理发师自己，不是非此即彼的关系，自理和被理的两种身份重叠，因此产生了非彼即彼，非此即此的混乱非理性关系，在同种条件下，对不同对象适用产生矛盾，违反逻辑统一规则，但逻辑推理是合理的，只是语言条件限定所有人物身份不确定，从而导致不确定错误结果，就如同集合的交集一样，被人理发者集合与自我理发者集合中间交集是理发师，理发师身份不确定的，在现实生活中，理发师可以自理发，与数学和逻辑无关，其行为与其本身能够相互独立，就是其行为对其本身能实现行为，这就如同心脏是给那些自己不给自己供血的器官或组织运输血液的，那么心脏能否给自己供血，答案是很显然的，这样就足以破解罗素悖论！