量子计算「基础」3. 量子操作

在量子计算机中使用量子位元记录数据，对这些数据进行计算操作其实就是对量子位元进行计算操作。回顾过往的经验，在传统计算机中可以使用二进制逻辑闸对二进制位元进行计算操作，我们将这个概念延伸到量子计算，我们称执行量子位元计算操作的特定模组爲量子闸。

3.1 单位元量子闸

3.1.1 数学表示

数学上，通常用 的複数矩阵 来表示一个单位元的量子闸：

此外，由于量子力学基本假设规定了算子 「在量子计算中可以视作量子闸」爲酉矩阵「Unitary matrix」，即：

酉矩阵的特性，保证了当一个量子位元经过某个量子闸转换后，得到的结果仍旧是一个符合归一化条件的量子位元：

3.1.2 哈达马闸（Hadamard gate）

哈达马闸是量子计算中最常用的量子闸之一，可以将量子位元 转换爲对应的叠加态：

单个量子位元上的哈达马闸的可以写成如下矩阵形式：

3.1.3 泡利-X闸（Pauli-X gate）

泡利-X闸，一般也简写爲 X闸，相当于量子计算中的逻辑反闸，可以将 反转爲 ，将 反转爲 ，数学表示爲如下矩阵：

3.1.4 泡利-Y闸（Pauli-Y gate）

泡利-Y闸则可以将 转换爲 ，将 转换爲 ，数学表示爲如下矩阵：

3.1.5 泡利-Z闸（Pauli-Z gate）

泡利-Z闸不会对 产生影响，但是会将 转换爲 ，数学表示爲如下矩阵：

3.1.6 相位偏移闸（Phase shift gates）

相位偏移闸不会对 产生影响，但是会将 转换爲 ，当 等于 时，相位偏移闸相当于泡利-Z闸，相位偏移闸的数学表示爲如下矩阵：

3.2 多量子位元

3.2.1 表示方法

现在，我们扩充量子位元的数量，对多个量子位元进行描述和分析。

在如下数学式中存在三个量子位元，通过类似的形式我们可以描述多个量子位元的综合状态：

爲了避免歧义，我们现在约定表达式中位于左边的位元是处于更高位的位元；反之，位于右边的位元是处于更低位的位元：

3.2.2 张量积形式

个量子位元 的综合状态可以成如下张量积形式：

通过观察如下示例可以帮助了解张量积是如何有效的表示多个量子位元的综合状态的：

3.3 多位元量子闸

3.3.1 互换闸（Swap gate）

互换闸需要作用在两个量子位元的综合状态上，用于交换两个量子位元，它的矩阵形式如下：

3.3.2 受控闸（Controlled gates）

已有一个单位元量子闸 ，我们可以在 的基础上构建一个作用在两个量子位元上的受控闸 ：

如果受控闸 作用在量子位元 上，会根据 的状态来决定是否对 进行 变换，如果 则对 进行 变换；如果 则不对 进行操作。

是量子计算中最爲常见的受控闸之一，它的矩阵形式如下：