量子计算「基础」・布络赫球模型推导-58码农网

使用布络赫球「Block-Sphere」模型能够更加直观的展示量子位元的状态，下面我们来推导一下单个量子位元的布络赫球模型数学式。

如下图所示，有一个绘製在三维空间中的球体，球面上的每一个点到球心的距离都是单位长度1。另外有一个经过球心的单位向量用以描述量子态，该向量与轴的夹角为，在平面上的投影与轴的夹角为：

布络赫球模型在上的分量：

任意单量子位元可以写作如下形式：

其中是複数，由于用来表示量子位元，因此满足归一化条件：

使用二维複向量形式表示量子位元：

引入球座标系来表示複向量：

由归一化条件可以得到：

因此，我们也可以将与写作如下形式：

其中。

使用球座标系重新书写複向量：

根据欧拉公式我们还可以将其写作如下形式：

在描述单个量子位元时，我们可以使用标準化方法来简化其複向量，我们将除上一个，并让：

由于我们描述的是单个独立的量子位元的状态，因此上述标準化操作仅会影响到参照系描述而并不会对量子状态本身造成改变。

此时，我们可以再次使用欧拉公式将複向量进行展开：

对照之前公式的複数向量定义：

我们将几个分量做如下设定：

转换複向量得到布络赫球的分量：

至此，我们已经转换并得到了如公式所示的在布络赫球模型中的分量：

2.3 合併公式

我们已经得到了公式，然而这三个公式是在我们对进行了标準化操作的前提下推导出来的，这意味着当我们需要将一个新的量子位元投影到布络赫球模型上时还需要先进行标準化，再进行的公式变换。爲了简化操作，我们可以将标準化公式与投影转换公式进行合併，使得变换操作更加直接。

我们直接将球座标变换后的複向量列出，这次我们不做标準化而是直接展开：

对照之前公式的複数向量定义：

此时这四个分量可以定义爲：

转换複向量得到布络赫球的分量：